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2.2《等差数列的前n项和》习题课课件(北师大版必修5)PPT

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  • 素材类别:数学课件PPT
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  • 关键提要:2.2《等差数列的前n项和》习题课课件(北师大版必修5)PPT,等差数列的前n项和
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这是2.2《等差数列的前n项和》习题课课件(北师大版必修5)PPT下载,主要先容了理解等差数列中奇数项和、偶数项和的问题,求等差数列的前n项和的最值,利用等差数列的性质解题,等差数列的奇数项和与偶数项和问题,和与中项的关系问题,例题解析等内容,欢迎点击下载。

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2.2《等差数列的前n项和》习题课课件(北师大版必修5)PPT

PPT内容

2.2《等差数列的前n项和》习题课课件(北师大版必修5)PPT
2.2 等差数列的前n项和
1.为何课本上在推导前n项和公式时,没有首尾相加而是采用倒序相加法?
对于1+2+3+…+100=?可用以下方法计算:
101=1+100=2+99=3+98=…这样的数共有50对,则50×101=5050,运用的是等差数列的一个性质.
而对于1+2+3+…+101=?将首尾相加:102=1+101=2+100=3+99=…,这样的数除有50对外,还多了一个中间数51.
2.如何理解等差数列中奇数项和、偶数项和的问题?
(1)当等差数列{an}有偶数项时,设为2n项,
设S偶=a2+a4+a6+…+a2n,①
S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1,②
①-②得:S偶-S奇=nd,
①+②得:S偶+S奇=S2n,
(2)当等差数列{an}有奇数项时,设项数为2n+1,
设S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1,③
S偶=a2+a4+a6+…+a2n,④
③-④得:S奇-S偶=a1+nd=an+1,
③+④得:S偶+S奇=S2n+1=(2n+1)an+1,
此时,当a1=0,等差数列的各项均是0,则Sn的最大值和最小值都是0;当a1>0,Sn=f(n)=a1n是一次函数,并且是增函数,由于函数的定义域是n∈N*,则Sn存在最小值S1,不存在最大值;当a1<0,Sn=f(n)=a1n是一次函数,并且是减函数,由于函数的定义域是n∈N*,则Sn存在最大值S1,不存在最小值.
当   ≠0,即d≠0时,则Sn是n的二次函数,要结合二次函数的图像和性质,求得最值.
(2)大家知道有如下的实数运算规律:实数加上负数,越加越小;实数加上正数,越加越大;实数加上0,不变化.
设数列{an}是等差数列,首项是a1,公差是d,则其前n项和是Sn.
当d>0,a1>0时,等差数列{an}中所有项都是正数,则Sn存在最小值S1,不存在最大值;
当d<0,a1<0时,等差数列{an}中所有项都是负数,则Sn存在最大值S1,不存在最小值;
当d>0,a1<0时,由于d>0,该等差数列是递增数列,那么必存在m∈N*,使得
即等差数列中,前m项都是非正数,从第m+1项开始,以后各项都是正数,则Sn不存在最大值,存在最小值,Sn的最小值是Sm.
当d<0,a1>0时,由于d<0,该等差数列是递减数列,那么必存在m∈N*,使得
即等差数列中,前m项都是非负数,从第m+1项开始,以后各项都是负数,则Sn不存在最小值,存在最大值,Sn的最大值是Sm.
[例1] 在等差数列{an}中,
(1)已知S8=48,S12=168,求a1和d;
(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
(3)已知a16=3,求S31.
[例2] 数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N*).
(1){an}是什么数列?
(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和.
解析:(1)an=Sn-Sn-1
=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]
=101-2n(n≥2).
∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,
∴数列{an}的通项公式为an=101-2n(n∈N*).
又an+1-an=-2为常数,
∴数列{an}是首项为a1=99,公差d=-2的等差数列.
(2)令an=101-2n≥0,得n≤50.5,
∵n∈N*,∴n≤50(n∈N*).
①当1≤n≤50时,an>0,此时bn=|an|=an,
∴{bn}的前n项和Sn′=100n-n2.
②当n≥51时,an<0,此时bn=|an|=-an,
由b51+b52+…+bn
=-(a51+a52+…+an)
=-(Sn-S50)
=S50-Sn,
得数列{bn}的前n项和为
Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn
=2×2500-(100n-n2)
=5000-100n+n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Sn′=
[变式训练2] 数列{an}的前n项和为Sn=10n-n2,求数列{|an|}的前n项和.
解析:a1=S1=9.
∵Sn=10n-n2,∴an=Sn-Sn-1=-2n+11(n≥2),当n=1时,an也成立,故an=-2n+11(n∈N+).
令an<0,得-2n+11<0,解得n>
∴当1≤n≤5时,an>0;当n≥6时,an<0.
设Sn′是数列{|an|}的前n项和,则Sn′=a1+a2+a3+a4+a5+|a6|+|a7|+…+|an|=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+an).
∴当1≤n≤5时,Sn′=Sn=10n-n2;
当n≥6时,Sn′=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=2×(10×5-52)-(10n-n2)=n2-10n+50.
[例3] 在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求S110.
解法3:设等差数列的首项为a1,公差为d,
[变式训练3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
分析:求d的取值范围,从S12>0,S13<0入手.
(2)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,
即a6+a7>0,a7<0.
由此得a6>-a7>0,因为a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
[例4] 在等差数列{an}中,a1=30,公差d=-2,求它的前n项和Sn的最大值,并求出相应的n值.
[变式训练4] 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
解法3:由S17=S9,
得a10+a11+…+a17=0.
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.
∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0,
故n=13时,Sn有最大值169.
解法4:由d=-2得Sn的图像如图所示(抛物线上一些孤立点),由S17=S9知图像对称轴为n=
 =13,
∴当n=13时,Sn取得最大值为169.
已知等差数列的奇数项和与偶数项和,解题思路可以转化为求基本特征量a1与d.但充分利用奇数项和、偶数项和与数列和之间的关系,可使问题简化.
解法2:设S偶=a2+a4+…+a10,S奇=a1+a3+…+a9,则S偶=140-125=15=5a6(因为a2+a10=a4+a8=2a6),所以a6=3.
[变式训练5] (1)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于(  )
A.9        B.10
C.11     D.12
(2)有2n+1项的等差数列,其奇数项与偶数项的和之比为            (  )
分析:要根据条件寻找通项与前n项和的关系.
此类问题仍可转化为利用基本特征量进行解决,这是最基本的方法,是必须要掌握的.但在此基础上,深刻理解等差数列的和与等差数列之间的关系,可以使自己的学习得到提升.
[例7] 等差数列的前n项和为Sn,若S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20.
解法2:S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16构成等差数列,令b1=S4,b2=S8-S4,则b5=1+4×2=9.
[变式训练7] (一题多解)等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为        (  )
A.130     B.170
C.210     D.260
解析:解法1:将Sm=30,S2m=100代入前n项和公式有
[变式训练8] 在数列{an}中,Sn=an2+bn+c(a≠0),求证:{an}是等差数列的等价条件是c=0.
证明:(1)n=1时,a1=S1=a+b+c;
(2)n≥2时,an=Sn-Sn-1
=an2+bn+c-a(n-1)2-b(n-1)-c
=2an+(b-a),
∴an+1-an=2a,
而a2-a1=2a×2+(b-a)-(a+b+c)
=3a+b-a-b-c=2a-c,
所以c=0时,{an}是等差数列.
[例9] 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前一分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后马上折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
分析:本题实质上是数列求和问题,因此应将实际问题转化成数知识题.
[变式训练9] (数学与经济科技)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如下图所示:
甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.
乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息回答:
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第一年是扩大了还是缩小了?请说明理由;
(3)哪一年的规模最大?请说明理由.
分析:由信息图数据可直接做出(1)、(2),建立数学模型,可解决第(3)问.
解析:(1)由图可知,第2年养鸡场的个数是26个,
那么全县出产鸡的总数是S2=26×1.2=31.2(万只).
(2)第一年总共出产鸡的只数:S1=30×1=30(万只),
第六年总共出产鸡的只数:S6=2×10=20(万只).
由此得S1-S6=30-20=10(万只).这说明规模缩小了.
 

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